Dal Profondo
Blog di Nicola d'Antonio
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Curiosità di Matematica
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Confronto tra due frazioni
La periodicità di un numero
Un segmento lungo ha più punti di uno corto?
Il frattale
La sezione aurea
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Confronto tra due frazioni (positive)
Lo sapevi che per confrontare due frazioni a/b e c/d , con a, b, c, d numeri naturali diversi da zero, è sufficiente confrontare il prodotto ad con cb?
Esempio:
La periodicità di un numero
Lo sapevi che un numero periodico nella base dieci può non esserlo se scritto in un’altra base?
1/3, per esempio, scritto in forma decimale è 0,3333…. ma in base 3 si scrive 0,1, non periodico.
Un segmento lungo ha più punti di uno corto?
Ammesso che abbia senso chiedersi se un segmento AB di lunghezza L abbia più punti di un altro segmento CD di lunghezza L’ < L (entrambi i segmenti hanno infiniti punti), quale potrebbe essere la risposta?
Il segmento AB non ha più punti di CD infatti esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di AB e quelli di CD.
Individuiamo il punto O intersezione del prolungamento di AC con il prolungamento di BD. Creiamo una corrispondenza tra i punti di AB e quelli di CD con il fascio di semirette di origine O (si veda la figura). Per ogni punto P di AB ne esiste uno P’ ed uno solo in CD e per ogni punto Q’ di CD ne esiste uno Q ed uno solo di AB. Non c’è nessun punto Q’ di CD a cui corrispondono due (Q ed R) o più punti di AB.
Un discorso simile si può fare tra i punti di due circonferenze di raggio diverso e così via.
Il frattale
Immaginiamo di costruire un frattale, partendo da un cerchio di raggio R, seguendo la regola di costruzione:
aggiungiamo quattro cerchi di raggio R/2 tangenti al primo cerchio come in figura.
Successivamente sui tre lati non impegnati di questi cerchi si aggiungono tre cerchi di raggio metà del raggio precedente. Si procede così all’infinito. L’illustrazione si ferma ai cerchi con r = R/32.
La figura conclusiva risulta inscritta in un quadrato di lato L.
Si chiede di trovare L in funzione di R e il rapporto tra l’area del frattale e quella del quadrato.
Quanta parte del quadrato rimane scoperta?
Calcoliamo la metà della diagonale D/2 sommando ad R i diametri di tutte le infinite circonferenze lungo l’asse orizzontale. L’insieme degli infiniti diametri , a1, a2, a3, a4, …. sono in progressione geometrica R, R/2, R/4, R/8, R/16, ecc. Il rapporto tra un elemento e il suo precedente si chiama ragione q ed è costante (nel nostro caso q = 1/2).
La somma degli infiniti termini S = R + R/2 + R/4 + R/8 + R/16 + …… è data dalla formula (caso con 0 < q < 1) :
mentre per l’area si ottiene L * L = 18 R * R.
Tralasciamo per un attimo la circonferenza principale e troviamo l’area di 1/4 di tutte le circonferenze rimaste. La successione delle aree è una progressione geometrica di ragione 3/4 (verificate!). La somma sarà:
I cerchi coprono circa 87 % dell’area del quadrato, rimane scoperto circa il 3 per cento.
Perché non provate a costruire altri frattali utilizzando la stessa logica?
La sezione aurea
Prendiamo un segmento AB di lunghezza L. Dividiamo il segmento in due parti a e b tale che a + b = L. Esiste solo un punto P del segmento che ha la proprietà b/a = L/b. Il rapporto b/a è chiamato sezione aurea. La figura illustra la situazione:
